Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜-1或x＞1}
B．{x|x＜-1或0＜x＜1}
C．{x|-1＜x＜0或0＜x＜1}
D．{x|-1＜x＜1，且x≠0}

Answer

由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可
【解析】
设g（x）=，则g（x）的导数为g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，
又∵g（-x）====g（x）
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（1）==0
∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得
不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或
⇔0＜x＜1或x＜-1
故选B