Question

函数f（x）=|sinπx-cosπx|对任意的x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₂-x₁|的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．

Answer

先将函数写出分段函数，再确定|x2-x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，数形结合可得结论．
【解析】
由题意，f（x）=|sinπx-cosπx|=|（sinπx-cosπx）|=|sin（πx-）|，
它的周期为=1，最大值为，最小值为0，f（x）的图象如图所示：
∵对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，所以f（x1）是最小值，f（x2）是最大值．
|x2-x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．
结合图形可得，当x=时，函数取得最小值0，x=时，函数取得最大值为，
且此时|x2-x1|取得最小值为 =，
故选 D．