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已知R上的连续函数g(x)满足:①当x>0时,g'(x)>0恒成立(g'(x)为...

已知R上的连续函数g(x)满足:①当x>0时,g'(x)>0恒成立(g'(x)为函数g(x)的导函数);②对任意x∈R都有g(x)=g(-x).又函数f(x)满足:对任意的x∈R都有manfen5.com 满分网成立,当manfen5.com 满分网时,f(x)=x3-3x.若关于x的不等式g[f(x)]≤g(a2-a+2)对manfen5.com 满分网恒成立,则a的取值范围是( )
A.a≥1或a≤0
B.0≤a≤1
C.manfen5.com 满分网
D.a∈R
由于函数g(x)满足:①当x>0时,g'(x)>0恒成立(g'(x)为函数g(x)的导函数);②对任意x∈R都有g(x)=g(-x),这说明函数g(x)为R上的偶函数且在[0,+∞)上为单调递增函数,且有g|(x|)=g(x),所以g[f(x)]≤g(a2-a+2)⇔|f(x)|≤|a2-a+2|对恒成立,只要使得|f(x)|在定义域内的最大值小于等于|a2-a+2|的最小值,然后解出即可. 【解析】 因为函数g(x)满足:当x>0时,g'(x)>0恒成立且对任意x∈R都有g(x)=g(-x),则函数g(x)为R上的偶函数且在[0,+∞)上为单调递增函数,且有g|(x|)=g(x), 所以g[f(x)]≤g(a2-a+2)在R上恒成立⇔|f(x)|≤|a2-a+2|对恒成立,只要使得定义域内|f(x)|max≤|a2-a+2|min,由于当时,f(x)=x3-3x, 求导得:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),该函数过点(,(0,0),(, 且函数在x=-1处取得极大值f(-1)=2,在x=1处取得极小值f(1)=-2,又由于对任意的x∈R都有⇔成立,则函数f(x)为周期函数且周期为T=,所以函数f(x)在的最大值为2,所以令2≤|a2-a+2|解得:a≥1或a≤0. 故选A
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