Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA1=，E、F分别是A₁C₁、BC的中点，若平面ABE⊥平面BB₁C₁C
（I）求证AB⊥BC
（II）FC₁∥平面ABE
（III）求平面ABE与平面EFC₁所成锐二面角的余弦值．

Answer

（I）取B1C1的中点G，连接EG，GB，过C作CH⊥GB于H，证明AB⊥平面BB1C1C，可得AB⊥BC；
（II）取AB中点D，连接ED，DF，证明FC1∥ED，可得FC1∥平面ABE
（III）建立空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量=（），平面EFC1的法向量取=（，1，-1），利用向量的夹角公式，即可求平面ABE与平面EFC1所成锐二面角的余弦值．
（I）证明：取B1C1的中点G，连接EG，GB，

则EG∥AB，GB是平面ABE与平面BB1C1C的交线
过C作CH⊥GB于H，则∵平面ABE⊥平面BB1C1C
∴CH⊥平面ABE，∴CH⊥AB
∵CC1⊥AB，CC1∩CH=C
∴AB⊥平面BB1C1C
∵BC⊂平面BB1C1C
∴AB⊥BC
（II）证明：取AB中点D，连接ED，DF，则DF∥EC1，且DF=EC1，
∴FC1∥ED
∵FC1⊄平面ABE，ED⊂平面ABE
∴FC1∥平面ABE
（III）【解析】
∵AB⊥BC，∴AB=2
建立如图所示的坐标系，则B（0，0，0），A（0，2，0），E（1，，），F（1，0，0），C1（2，0，）
∴=（0，2，0），=（1，，），=（1，-，0），
设=（x，y，z）是平面ABE的法向量，则，即，可取=（）；
设=（x′，y′，z′）是平面EFC1的法向量，则，即，可取=（，1，-1）
∴平面ABE与平面EFC1所成锐二面角的余弦值为==