Question

已知将函数y=cos²-sin²+2sincos的图象上所有点向左平移个单位，再把所得的图象上所有点得横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数f（x）的图象．
（I）求函数f（x）的表达式及f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）的单调递减区间及f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

Answer

（I）由三角函数的运算公式可得：y=2sin（x+），由图象变换的知识可得f（x）=2sin（2x），进而可得周期；
（II）由整体法可得函数的单调区间，进而可得函数在区间[0，]的最值．
【解析】
（I）由三角函数的运算公式可得：y=cos2-sin2+2sincos
=cosx+sinx=2（cosxsinx）=2sin（x+），
由图象变换的知识可得将上述函数图象向左平移个单位，横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
所得函数为：f（x）=2sin（2x），故其周期为：T==π；
（II）由2kπ2kπ+，得f（x）=2sin（2x）的递减区间为：
[kπ+，kπ+]（k∈Z），又∵x∈[0，]，∴2x∈[，]，
∴sin（2x）∈[，1]，
所以当x=时，f（x）取得最小值，当x=时，f（x）取得最大值2