Question

在如图1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，E为CD中点．若沿AE将三角形DAE折起，并连接DB，DC，得到如图2所示的几何体D-ABCE，在图2中解答以下问题：

（Ⅰ）设G为AD中点，求证：DC∥平面GBE；
（Ⅱ）若平面DAE⊥平面ABCE，且F为AB中点，求证：DF⊥AC．

Answer

（Ⅰ）先证明ABCE为平行四边形，可得AO=OC，从而AG=GD，进而有OG∥CD，利用线面平行的判定，可得DC∥平面GBE；（Ⅱ）在图2中，取AE中点H，连接HF，连接EB，先证明DH⊥平面ABCE，可得AC⊥DH，证明ABCE为菱形，可得AC⊥BE，由三角形中位线的性质，可得HF∥BE，从而可得AC⊥HF，利用线面垂直的判定可得AC⊥平面DHF，从而可得DF⊥AC．
证明：（Ⅰ）连接AC，交EB于O，连接OG
在图1中，E为CD中点，ABCD为等腰梯形
所以AB∥EC，AB=EC=a，所以ABCE为平行四边形，
所以AO=OC，
在图2中，AG=GD，所以在三角形ACD中，有OG∥CD…（4分）
因为OG⊂平面GBE，CD⊄平面GBE，
所以DC∥平面GBE…（6分）
（Ⅱ）在图2中，取AE中点H，连接HF，连接EB
因为△DAE为等边三角形，所以DH⊥AE
因为平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE∩平面ABCE=AE
所以DH⊥平面ABCE，
又AC⊂平面ABCE，所以AC⊥DH…（8分）
因为ABCE为平行四边形，CE=BC=a
所以ABCE为菱形，所以AC⊥BE
因为H、F分别为AE、AB中点，所以HF∥BE
所以AC⊥HF…（10分）
因为HF⊂平面DHF，DH⊂平面DHF，
所以AC⊥平面DHF，而DF⊂平面DHF
所以DF⊥AC…（12分）