Question

如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．

（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；
（2）求二面角G-EF-D的大小；
（3）求三棱椎D-PAB的体积．

Answer

（1）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥CD，根据CD⊥AD，可得CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定，可得平面PCD⊥平面PAD；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面EFG的法向量=（1，0，1），平面PCD的一个法向量=（1，0，0），利用向量的夹角公式，可得二面角G-EF-D的平面角；
（3）利用等体积转化，可求三棱椎D-PAB的体积．
（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥CD…（1分）
∵CD⊥AD，PD∩AD=D
∴CD⊥平面PAD…（2分）
∵CD⊂平面PCD
∴平面PCD⊥平面PAD…（3分）
（2）【解析】
如图以D为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz，则G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1）=（0，-1，0），=（1，1，-1）…（5分）
设平面EFG的法向量为=（x，y，z）
∴，∴，∴．
取=（1，0，1）…（6分）
平面PCD的一个法向量，=（2，0，0）…（7分）
∴cos…（8分）
结合图知二面角G-EF-D的平面角为45°…（9分）
（3）【解析】
•PD=…（12分）