Question

椭圆C：的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明为定值，并求这个定值．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为，建立方程组，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，可得一元二次方程，利用韦达定理，及三角形的相似比，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
依题意得…（3分）
解得，故椭圆C的方程为．                          …（5分）
（Ⅱ）证明：依题意可设直线l的方程为x=ky+4…（6分）
由，消去x可得（4k2+5）y2+32ky+44=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（0，y3），则…（8分）
又由直线l的方程x=ky+4知
由三角形的相似比得
注意到y1y2＞0，
∴|y1|+|y2|=|y1+y2|
∴
故为定值．                                           …（12分）