Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，S_n+1=3S_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明．

Answer

（I）由Sn+1=3Sn+2可得，当n＞1时，Sn=3Sn-1+2两 式相减可得，an+1=3an，结合等比数列的通项公式可求
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求Sn，代入可求bn，然后利用裂项求和即可求解Tn，可证明
【解析】
（I）由Sn+1=3Sn+2可得，当n＞1时，Sn=3Sn-1+2
两 式相减可得，an+1=3an（3分）
∵a1=2，
∴数列{an}是以2为首项，以3为公比的等比数列
∴（6分）
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得…（8分）
故
故Tn=b1+b2+…+bn=…（10分）
又n∈N*，，故
由bn＞0知当n=1时，最小，即
故成立．                                                 …（12分）