Question

设双曲线C：-=1（a，b＞0），R₁，R₂是它实轴的两个端点，l是其虚轴的一个端点．已知其一条渐近线的一个方向向量是（1，），△lR₁R₂的面积是，O为坐标原点，直线y=kx+m（k，m∈R）与双曲线C相交于A、B两点，且⊥．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求点P（k，m）的轨迹方程，并指明是何种曲线．

Answer

（1）根据渐近线的一个方向向量是（1，），可得双曲线的渐近线方程为y=±x，从而有b=a，c=2a，利用△lR1R2的面积是，即可求得双曲线C的方程；
（2）直线AB：y=kx+m与双曲线联立消去y得（3-k2）x2-2kmx-m2-3=0，利用韦达定理及⊥知x1x2+y1y2=0，即可求得点P的轨迹方程．
【解析】
（1）由题意，渐近线的一个方向向量是（1，），∴双曲线的渐近线方程为y=±x，则有b=a，c=2a
又△lR1R2的面积是，故×2a×b=，得a=1，b=，c=2（3分）
所以双曲线C的方程为．（6分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=kx+m与双曲线联立消去y得（3-k2）x2-2kmx-m2-3=0
由题意3-k2≠0，且 （4分）
又由⊥知x1x2+y1y2=0
而x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2
所以+k2×+km×+m2=0
化简得2m2-3k2=3①
由△＞0可得k2＜m2+3②
由①②可得2m2-3k2=3                  （6分）
故点P的轨迹方程是2y2-3x2=3（x≠±），其轨迹是双曲线       （8分）