Question

已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M-BC′-B′的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M-OBC的体积．

Answer

（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK，证明MO⊥AA′，MO⊥BD′
OM是异面直线AA′和BD′都相交，即可证明OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′，过点N作NH⊥BC′于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M-BC′-B′的平面角，解三角形求二面角M-BC′-B′的大小；
（Ⅲ）利用VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’，求出S△MA’D’以及O到平面MA′D′距离h，即可求三棱锥M-OBC的体积．
【解析】
（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK
因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点
所以AM
所以MO

由AA′⊥AK，得MO⊥AA′
因为AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′
所以MO⊥BD′
又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交
故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线
（Ⅱ）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′
过点N作NH⊥BC′于H，连接MH
则由三垂线定理得BC’⊥MH
从而，∠MHN为二面角M-BC′-B′的平面角
MN=1，NH=BNsin45°=
在Rt△MNH中，tan∠MHN=
故二面角M-BC′-B′的大小为arctan2
（Ⅲ）易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内
点O到平面MA′D′距离h=
VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h=