Question

如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．
（1）求证：圆心O在直线AD上．
（2）求证：点C是线段GD的中点．

Answer

切线PA和PB，切点分别是A和B根据切线的性质和圆周角定理，四边形内角和是360度即可求得劣弧AB的度数．
证明：（1）∵AB=AC，AF=AE
∴CD=BE
又∵CF=CD，BD=BE
∴CD=BD
又∵△ABC是等腰三角形，
∴AD是∠CAB的角分线
∴圆心O在直线AD上．（5分）
（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，
∴∠DHF=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°
又∵∠G+∠FHD=90°
∴∠FDH=∠G
∵⊙O与AC相切于点F
∴∠AFH=∠GFC=∠FDH
∴∠GFC=∠G
∴CG=CF=CD
∴点C是线段GD的中点．（10分）