Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足=，求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（1）由an+1=2an+1得出an+1+1=2（an+1）构造等比数列{an+1}，求出其通项公式后即可求出数列{an}的通项公式
（2）由（1）an+1=2 n，得出2（b1+2b2+3b3+…+nbn）=n2+2n①，当n≥2时，2[b1+2b2+3b3+…（n-1）bn-1]=（n-1）2+2（n-1）②
两式相减，得出，bn=1+，当n=1时也适合．
【解析】
（1）∵an+1=2an+1∴an+1+1=2（an+1），a1=1，
所以数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1=2•2n-1=2 n，
an=2 n-1，
（2）∵=，
∴=
∴2（b1+2b2+3b3+…+nbn）-2n=n2，
即2（b1+2b2+3b3+…+nbn）=n2+2n①
当n≥2时，2[b1+2b2+3b3+…（n-1）bn-1]=（n-1）2+2（n-1）②
①-②得，2nb n=2n+1，bn=1+，
当n=1时也适合，所以bn=1+，