Question

如图，已知椭圆C：，动圆C₁：．点A₁，A₂分别为C的左右顶点，C₁与C相交于A，B，C，D四点．
（I）求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；
（II）设动圆C₂：与C0相交于A'，B'，C'，D'四点，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂．若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：为定值．

Answer

（I）设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C上，化简即可得到M轭轨迹方程；
（II）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得=a2+b2为定值．
（I）【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为①
直线A2B的方程为②
由①×②可得：③
∵A（x1，y1）在椭圆C上，
∴
∴
代入③可得：
∴；
（II）证明：设A′（x3，y3），
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等
∴4|x1||y1|=4|x3||y3|
∴=
∵A，A′均在椭圆上，
∴=
∴=
∴
∵t1≠t2，∴x1≠x3．
∴
∵，
∴
∴=a2+b2为定值．