Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC．E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：DE⊥平面PBC．

Answer

（1）记BD中点为O，连OE，由O，E分别为AC，CP中点，由中位线定理得OE∥PA，再由线面平行的判定定理得PA∥平面EDB；
（2）由PD⊥平面ABCD得DE⊥BC，DE⊥PC．由线面垂直的判定定理得DE⊥平面PBC．
【解析】
（1）记BD中点为O，连OE，
由O，E分别为AC，CP中点，
∴OE∥PA
又OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB．（5分）
（2）由PD⊥平面ABCD∴PD⊥BC又CD⊥BC，
∴BC⊥平面PCD，DE⊥BC．（8分）
由PD=DC，E为P中点，故DE⊥PC．
∴DE⊥平面PBC（10分）