Question

设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用区间表示）
（2）求函数f（x）=2x³-3（1+a）x²+6ax在D内的极值点．

Answer

（1）根据题意先求不等式2x2-3（1+a）x+6a＞0的解集，判别式△=9（1+a）2-48a=9a2-30a+9=3（3a-1）（a-3），通过讨论△＞0，△=0，△＜0分别进行求解
（2）对函数f（x）求导可得f'（x）=6x2-6（1+a）x+6a=6（x-a）（x-1），由f'（x）=0，可得x=a或x=1，结合（1）中的a的范围的讨论可分别求D，然后由导数的符号判定函数f（x）的单调性，进而可求极值
【解析】
（1）令g（x）=2x2-3（1+a）x+6a△=9（1+a）2-48a=9a2-30a+9=3（3a-1）（a-3）
①当时，△≥0，
方程g（x）=0的两个根分别为，
所以g（x）＞0的解集为
因为x1，x2＞0，所以D=A∩B=
②当时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）
综上所述，当时，D=；
当时，D=（0，+∞）
（2）f'（x）=6x2-6（1+a）x+6a=6（x-a）（x-1），
令f'（x）=0，得x=a或x=1
①当时，由（1）知D=（0，x1）∪（x2，+∞）
因为g（a）=2a2-3（1+a）a+6a=a（3-a）＞0，g（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0
所以0＜a＜x1＜1≤x2，
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x （0，a） a （a，x1） （x2，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ ↗

所以f（x）的极大值点为x=a，没有极小值点
②当时，由（1）知D=（0，+∞）
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x （0，a） a （a，1） 1 （1，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以f（x）的极大值点为x=a，极小值点为x=1
综上所述，当时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；
当时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．