Question

现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．

Answer

（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由于A=B++，根据事件的独立性和互斥性可求出所求；
（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据事件的对立性和互斥性可得相应的概率，得到分布列，最后利用数学期望公式解之即可．
【解析】
（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D
由题意知P（B）=，P（C）=P（D）=
由于A=B++
根据事件的独立性和互斥性得
P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P（）+P（）P（）P（D）
=×（1-）×（1-）+（1-）××（1-）+（1-）×（1-）×
=
（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5
根据事件的对立性和互斥性得
P（X=0）=P（）=（1-）×（1-）×=
P（X=1）=P（B）=×（1-）×（1-）=
P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1-）××（1-）+（1-）×（1-）×=
P（X=3）=P（BC）+P（BD）=××（1-）+×（1-）×=
P（X=4）=P（）=（1-）××=
P（X=5）=P（BCD）=××=
故X的分布列为

 X  0  1  2  3  4  5
 P            

所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=