Question

如图，动点M与两定点A（-1，0）、B（1，0）构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=x+m（m＞0）与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设出点M（x，y），表示出两线的斜率，利用其乘积为4，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；
（Ⅱ）直线y=x+m与4x2-y2-4=0（x≠±1）联立，消元可得3x2-2mx-m2-3=0，结合题设（m＞0）可知，m＞0且m≠1设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用，即可确定的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设M（x，y），则kMA=，kMB=
∵直线MA、MB的斜率之积为4，
∴
∴4x2-y2-4=0
又x=±1时，必有一个斜率不存在，故x≠±1
综上点M的轨迹方程为4x2-y2-4=0（x≠±1）
（Ⅱ）直线y=x+m与4x2-y2-4=0（x≠±1）联立，消元可得3x2-2mx-m2-4=0①
∴△=16m2+48＞0
当1或-1是方程①的根时，m的值为1或-1，结合题设（m＞0）可知，m＞0且m≠1
设Q，R的坐标分别为（xQ，yQ），（xR，yR），
∵|PQ|＜|PR|，∴xR=，xQ=，
∴==
∵m＞0且m≠1
∴，且≠4
∴，且
∴的取值范围是（1，）∪（，3）