Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，常数λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a₁＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？

Answer

（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1-2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求
（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项
解（I）当n=1时，
∴a1（λa1-2）=0
若取a1=0，则sn=0，an=sn-sn-1=0
∴an=0（n≥1）
若a1≠0，则，当n≥2时，2an=，
两式相减可得，2an-2an-1=an
∴an=2an-1，从而可得数列{an}是等比数列
∴an=a1•2n-1==
综上可得，当a1=0时，an=0，当a1≠0时，
（II）当a1＞0且λ=100时，令
由（I）可知
∴{bn}是单调递减的等差数列，公差为-lg2
∴b1＞b2＞…＞b6=＞0
当n≥7时，
∴数列的前6项和最大