Question

如图，动点M到两定点A（-1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；
（Ⅱ）直线y=-2x+m与3x2-y2-3=0（x＞1）联立，消元可得x2-4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内
可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用，即可确定的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0
当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）
当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=，
化简可得3x2-y2-3=0
而点（2，±3）在曲线3x2-y2-3=0上
综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x＞1）；
（Ⅱ）直线y=-2x+m与3x2-y2-3=0（x＞1）联立，消元可得x2-4mx+m2+3=0①
∴①有两根且均在（1，+∞）内
设f（x）=x2-4mx+m2+3，∴，∴m＞1，m≠2
设Q，R的坐标分别为（xQ，yQ），（xR，yR），
∵|PQ|＜|PR|，∴xR=2m+，xQ=2m-，
∴==
∵m＞1，且m≠2
∴，且
∴，且
∴的取值范围是（1，7）∪（7，7+4）