Question

对于项数为m的有穷数列{a_n}，记b_k=max{a₁，a₂，…，a_k}（k=1，2，…，m），即b_k为a₁，a₂，…，a_k中的最大值，并称数列{b_n}是{a_n}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．
（1）若各项均为正整数的数列{a_n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a_n}．
（2）设{b_n}是{a_n}的控制数列，满足a_k+b_m-k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m），求证：b_k=a_k（k=1，2，…，m）．
（3）设m=100，常数，若，{b_n}是{a_n}的控制数列，求（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）．

Answer

（1）根据题意，可得数列{an}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；
（2）依题意可得bk+1≥bk，又ak+bm-k+1=C，ak+1+bm-k=C，从而可得ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，整理即证得结论；
（3）根据，可发现，a4k-3=a（4k-3）2+（4k-3），a4k-2=a（4k-2）2+（4k-2），a4k-1=a（4k-1）2-（4k-1），a4k=a（4k）2-4k，通过比较大小，可得a4k-2＞a4k-1，a4k＞a4k-2，而a4k+1＞a4k，a4k-1-a4k-2=（a-1）（8k-3），从而可求得（b1-a1）+（b2-a2）+…+（b100-a100）=（a2-a3）+（a6-a7）+…+（a98-a99）=（a4k-2-a4k-1）=2525（1-a）．
【解析】
（1）数列{an}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；…4分
（2）∵bk=max{a1，a2，…，ak}，bk+1=max{a1，a2，…，ak+1}，
∴bk+1≥bk…6分
∵ak+bm-k+1=C，ak+1+bm-k=C，
∴ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，即ak+1≥ak，…8分
∴bk=ak…10分
（3）对k=1，2，…25，
a4k-3=a（4k-3）2+（4k-3），a4k-2=a（4k-2）2+（4k-2），
a4k-1=a（4k-1）2-（4k-1），a4k=a（4k）2-4k，…12分
比较大小，可得a4k-2＞a4k-1，
∵＜a＜1，
∴a4k-1-a4k-2=（a-1）（8k-3）＜0，即a4k-2＞a4k-1；
a4k-a4k-2=2（2a-1）（4k-1）＞0，即a4k＞a4k-2，
又a4k+1＞a4k，
从而b4k-3=a4k-3，b4k-2=a4k-2，b4k-1=a4k-2，b4k=a4k，…15分
∴（b1-a1）+（b2-a2）+…+（b100-a100）
=（a2-a3）+（a6-a7）+…+（a98-a99）
=（a4k-2-a4k-1）
=（1-a）（8k-3）
=2525（1-a）…18分