Question

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x²-y²=1．
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；
（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ．

Answer

（1）求出双曲线的左焦点F的坐标，设M（x，y），利用|MF|2=（x+）2+y2，求出x的范围，推出M的坐标．
（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐进线的交点，然后求出平行四边形的面积．
（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=k2+1，通过求解=0．证明PO⊥OQ．
【解析】
（1）双曲线C1：的左焦点F（-），
设M（x，y），则|MF|2=（x+）2+y2，
由M点是右支上的一点，可知x≥，
所以|MF|==2，得x=，
所以M（）．
（2）左焦点F（-），
渐近线方程为：y=±x．
过F与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，
所以，解得．
所以所求平行四边形的面积为S=．
（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，
因直线PQ与已知圆相切，故，
即b2=k2+1…①，由，得（2-k2）x2-2bkx-b2-1=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）．
所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2
=
=．
由①式可知，
故PO⊥OQ．