Question

海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：
①失事船的移动路径可视为抛物线；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

Answer

（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；
 （2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．
【解析】
（1）t=0.5时，P的横坐标xP=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标yP=3．…2分
由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分
由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分
（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．
由vt=，整理得．…10分
因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分