Question

已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．

Answer

（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；
（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．
【解析】
（1）f（1-2x）-f（x）=lg（1-2x+1）-lg（x+1）=lg（2-2x）-lg（x+1），
要使函数有意义，则
由解得：-1＜x＜1．
由0＜lg（2-2x）-lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，
∵x+1＞0，∴x+1＜2-2x＜10x+10，
∴．
由得：．
（2）当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，
∴y=g（x）=g（x-2）=g（2-x）=f（2-x）=lg（3-x），
由单调性可知y∈[0，lg2]，
又∵x=3-10y，
∴所求反函数是y=3-10x，x∈[0，lg2]．