Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（ ）
A．既不充分也不必要的条件
B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件
D．充要条件

Answer

由题意，可由函数的性质得出f（x）为[-1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f（x）为[-1，0]上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项
【解析】
由题意，f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）为[0，1]上的增函数
所以f（x）为[-1，0]上是减函数
又f（x）是定义在R上的函数，且以2为周期
[3，4]与[-1，0]相差两个周期，故两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立，
若f（x）为[3，4]上的减函数，由周期性可得出f（x）为[-1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立
综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．
故选D