Question

如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA₁=2，E是DD₁的中点，F是平面B₁C₁E与直线AA₁的交点．
（1）证明：
（i）EF∥A₁D₁；
（ii）BA₁⊥平面B₁C₁EF；
（2）求BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值．

Answer

（1）
（i）先由C1B1∥A1D1证明C1B1∥平面ADD1A1，再由线面平行的性质定理得出C1B1∥EF，证出EF∥A1D1．
（ii）易通过证明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1⊥BA1，再由tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，得出BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；
（2）设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在RT△BHC1中求解即可．
（1）证明（i）∵C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面ADD1A1，
又C1B1⊂平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF，
∴C1B1∥EF，∴EF∥A1D1；
（ii）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，
又∵B1C1⊥B1A1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1，
∴B1C1⊥BA1，
在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，故BA1⊥B1F．
所以BA1⊥平面B1C1EF；
（2）【解析】
设BA1与B1F交点为H，
连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．
在矩形AA1B1B中，AB=，AA1=2，得BH=，
在RT△BHC1中，BC1=2，sin∠BC1H==，
所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是．