Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，且，其中a₁=1，a_n≠0，
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）设数列{b_n}满足，T_n为{b_n}的前n项和，求证：2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N^*．

Answer

（1）由，分别令n=1，2，3，能够依次求出a2，a3和a4．
（2）由，知，所以an+2-an=2（n∈N*）．由此能够证明数列{an}是等差数列．
（3）由，得，，故．从而．由此能够证明2Tn＞log2（2an+1），n∈N*．
（1）【解析】
，∴a2=2，a3=3，a4=4…（4分）
（2）证明：已知式即，故
因为an≠0，当然an+1≠0，所以an+2-an=2（n∈N*）．
由于，且a1=1，故a2=2．
于是a2m-1=1+2（m-1）=2m-1，a2m=2+2（m-1）=2m，
所以an=n（n∈N*）．…（8分）
（3）【解析】
由，得，
故．
从而.．
因此==
设
故．
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特别地，从而2Tn-log2（2an+1）=log2f（n）＞0．
所以2Tn＞log2（2an+1），n∈N*．…（14分）
…..（14分）．