Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4．
（Ⅰ）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）如果四棱锥E-ABCD有外接球，求出四棱锥E-ABCD外接球的半径，没有的话请说明理由．

Answer

（Ⅰ）设AC和BD相交于G，连接GF．通过证明GF∥BE证出BE∥平面ACF．
（Ⅱ）过E点作EH⊥AD，垂足为H，连接BH，可以证明EH⊥平面ABCD，所以∠EBH是直线BE与平面ABCD所成的角．在RT△EBH中求解．
（Ⅲ）在RT△AEC中，斜边AC上的中线EG等于斜边一半，所以有，G为外接球球心．
【解析】
（Ⅰ）设AC和BD相交于G，连接GF．

正方形ABCD，∴BG=GD，又∵EF=DF，∴GF∥BE，
又∵GF⊂平面ACF，BE⊄平面ACF，
∴BE∥平面ACF…（4分）
（Ⅱ）过E点作EH⊥AD，垂足为H，连接BH

∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，又∵CD⊥AD，AE∩AD=A，
∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，
∴EH⊥平面ABCD
所以∠EBH是直线BE与平面ABCD所成的角．…（6分）
在RT△ADE中，AE=3，DE=4，∴．
∵AB∥CD，∴AB⊥AE，∴，
∴．
所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为．…（9分）
（Ⅲ）∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CE，∠AEC=90°，又 ABCD为正方形，
所以有，
所以四棱锥E-ABCD有外接球，且G为球心，半径为…（12分）