Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图2．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁D的中点，求CM与平面A₁BE所成角的大小；
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直？说明理由．

Answer

（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=（-1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；
（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．
（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，
∴DE⊥平面A1CD，
又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE
又A1C⊥CD，CD∩DE=D
∴A1C⊥平面BCDE
（2）【解析】
如图建系C-xyz，则D（-2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（-2，2，0）
∴，
设平面A1BE法向量为
则∴∴
∴
又∵M（-1，0，），∴=（-1，0，）
∴
∴CM与平面A1BE所成角的大小45°
（3）【解析】
设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]
∴，
设平面A1DP法向量为
则∴
∴
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，
∴3a+12+3a=0，6a=-12，a=-2
∵0≤a≤3
∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直