Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC；M．N．P分别是棱BC．CC₁．B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面ANB₁；
（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面AMB₁．

Answer

（Ⅰ）取B1N中点S连PS，证明PQ∥AS，通过PQ⊄平面ANB1，AS⊂平面ANB1，说明PQ∥平面ANB1．
（Ⅱ）证明AM⊥BC，AM⊥MN，在直角△CMN和△BMB1中，证明MN⊥MB1，MN⊥平面AMB1即可证明平面AMN⊥平面AMB1．
（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）取B1N中点S连PS则PS∥CC1，QA∥CC1∴PS∥QA，
且PS=CC1=QA∴PSAQ为
平行四边形，…（3分）
∴PQ∥AS，又PQ⊄平面ANB1，AS⊂平面ANB1，
∴PQ∥平面ANB1…（6分）
（Ⅱ）∵AB=AC，M是棱BC的中点，
∴AM⊥BC
又三棱柱为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，CC1⊥AM
∴AM⊥平面CBB1C1，AM⊥MN…（9分）
在直角△CMN和△BMB1中，，   
 直角△CMN∽直角△BB1M
∴MN⊥MB1
又AM∩MB1=M，∴MN⊥平面AMB1；
∴平面AMN⊥平面AMB1．…（12分）