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设函数f(x)=,其中实数m为常数. (Ⅰ)求证:m=0是函数f(x)为奇函数的...

设函数f(x)=manfen5.com 满分网,其中实数m为常数.
(Ⅰ)求证:m=0是函数f(x)为奇函数的充要条件;
(Ⅱ) 已知函数f(x)为奇函数,当x,y∈[0,e]时,求表达式z=yf(x)+xf(y)的最小值.
(Ⅰ)m的取值应使得任意x≠0,恒有f(-x)=-f( x),可以将m=0代入后从充分、必要两个方面验证.或利用函数恒成立求出m的值. (Ⅱ)由(Ⅰ)当xy=0时,z=yf(x)+xf(y)=0,当x,y∈(0,e]时,z=yf(x)+xf(y)=yxlnx+xylny=xyln(xy)=f(xy),设t=xy∈(0,e2],换元后z=f(t)=tlnt,利用函数与导数的关系求解. (Ⅰ)证明:证法一:充分性:若m=0,则f(x)=.…(1分) ①f(-0)=-f(0)=0;…(2分) ②当x≠0时, f(-x)=(-x)ln|-x|=-xln|x|=-f(x).∴函数f(x)为奇函数.…(3分) 必要性:若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f( x)恒成立, ①当x=0时,易知成立, ②当x≠0时,f(-x)=(-x)ln|-x|+m(-x)2,f(x)=xln|x|+mx2, ∴m(-x)2=-mx2,2mx2=0,m=0. 故m=0是函数f(x)为奇函数的充要条件.…(6分) (Ⅰ)证法二:因为f(-0)=-f(0)=0,所以函数f(x)为奇函数的充要条件是∀x≠0,f(-x)=-f(x)⇔∀x≠0,(-x)ln|-x|+m(-x)2=-xln|x|-mx2⇔∀x≠0,2mx2=0⇔m=0. 故m=0是函数f(x)为奇函数的充要条件.…(6分) (Ⅱ)【解析】 由(Ⅰ)若函数f(x)为奇函数,则f(x)=, ①当xy=0时,z=yf(x)+xf(y)=0.…(7分) ②当x,y∈(0,e]时,z=yf(x)+xf(y)=yxlnx+xylny=xyln(xy)=f(xy),…(8分) 设t=xy∈(0,e2],z=f(t)=tlnt,f'(t)=lnt+1.…(9分) f(t),f'(t)随t的变换而变化的情况如下: t f'(t) - + f(t) 单调递减 极小值 单调递增 …(10分) f(t)的极小值,也为最小值,(11分) 所以.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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