Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=3∠BAC=90°，BF⊥AC垂足是F，AE⊥平面ABC，CD∥AE，AC=4CD=4，AE=3．
（Ⅰ）求证：BE⊥DF；
（Ⅱ）求二面角B-DE-F的平面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）先根据条件得到平面AEC⊥平面ABC；进而得到BF⊥平面AEC，即可得到BF⊥DF；进而根据条件得到DF⊥平面BEF即可证明结论；
（Ⅱ）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出两个平面的法向量的坐标，最后代入夹角计算公式即可求出结论．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵AE⊥平面ABC，AE⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面ABC，平面AEC∩平面ABC=AC，
BF⊂平面ABC，BF⊥AC，∴BF⊥平面AEC，DF⊂平面AEC，
∴BF⊥DF，
又∠ABC=3∠BAC=90°，∴BC=ACsin30°=4×=2，BF⊥AC，
∴CF=BCcos60°=1=CD，CD∥AE，AE⊥平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，∴∠DFC=45°，
AF=AC-CF=3=AE，∴∠EFA=45°，
∴∠EFD=90°，即DF⊥EF，
BF∩EF=F，BF、EF⊂平面BEF，∴DF⊥平面BEF，
∴DF⊥BE．
（Ⅱ）过F作Fz∥AE，由AE⊥平面ABC可知Fz⊥平面ABC，
又BF⊥AC，∴BF、AC、l两两垂直，
以F为原点，FA、FB、Fz依次为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图），
则F（0，0，0），，D（-1，0，1），E（3，0，3），
，，，
由（Ⅰ）知是平面DEF的一个法向量，设是平面BDE的一个法向量，
则取z=2，得到，
，
∴二面角B-DE-F的平面角的余弦值为．