Question

在四边形ABCD中，AB=2，BC=CD=4，AD=6，∠A+∠C=π．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．

Answer

（Ⅰ）根据题意画出图形，连接AC，由四边形的内角和为2π，根据∠A+∠C=π，得出∠B+∠D=π，用∠B表示出∠D，在三角形ABC中，利用余弦定理得到AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB，将AB，BC的值代入表示出AC2，在三角形ADC中，由余弦定理得到AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cosD，将AD，DC的值，以及表示出的∠D代入，利用诱导公式化简，根据AC相等，列出关系式，求出cosB的值，代入即可求出AC的值；
（Ⅱ）由∠D=π-∠B，得到sinB=sinD，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积及三角形ADC的面积，根据四边形ABCD的面积=三角形ABC的面积+三角形ADC的面积，即可求出四边形ABCD的面积．
【解析】
（Ⅰ）如图，连接AC，
依题意可知：∠B+∠D=π，即∠D=π-∠B，
又AB=2，BC=CD=4，AD=6，
在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+42-2×2×4cosB=20-16cosB，
在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cosD=62+42-2×6×4cosD=52-48cosD=52+48cosB，
由20-16cosB=52+48cosB，解得：cosB=-，
从而AC2=20-16cosB=28，即AC=2；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sinB=sinD=，
所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BCsinB+AD•CDsinD=2+6=8．…（12分）