Question

已知函数f（x）=．
（1）若函数f（x）在x=0处取极值，求a值；
（2）如图，设直线x=-1，y=-2x，将坐标平面分成I、II、III、IV四个区域（不含边界），若函数y=f（x）的图象恰好位于其中一个区域内，试判断其所在的区域，并求其对应的a的取值范围
（3）试比较2012²⁰¹¹与2011²⁰¹²的大小，并说明理由．

Answer

（1）由，得+，由f（x）在x=0处取极值，能求出a．
（2）由函数的定义域为（-1，+∞），且当x=0时，f（0）=-a＜0，又直线y=-2x恰好过原点，所以函数y=f（x）的图象应位于区域Ⅲ内，于是f（x）＜-2x，由此能求出a的取值范围．
（3）由（2）知，函数m（x）=在x∈（e-1，+∞）时单调递减，故函数p（x）=在x∈（e，+∞）时，单调递减，故，由此能证明20122011＜20112012．
【解析】
（1）∵，
∴+，
∵f（x）在x=0处取极值，
∴f′（x）=1+a-2=0，
∴a=1，经检验a=1符合题意，
故a=1．
（2）∵函数的定义域为（-1，+∞），且当x=0时，f（0）=-a＜0，
又直线y=-2x恰好过原点，
所以函数y=f（x）的图象应位于区域Ⅲ内，
于是f（x）＜-2x，
即，
∵x+1＞0，∴a，
令m（x）=，∴，
令m′（x）=0，得x=e-1，
∵x＞-1，∴x∈（-1，e-1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，
x∈（e-1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减．
∴，
∴a的取值范围是：a＞．
（3）由（2）知，函数m（x）=在x∈（e-1，+∞）时单调递减，
∴函数p（x）=在x∈（e，+∞）时，单调递减，
∴，∴xln（x+1）＜（x+1）lnx，
∴ln（x+1）x＜lnx（x+1），即（x+1）x＜x（x+1），
∴令x=2011，则20122011＜20112012．