Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，直线PD与底面ABCD所成的角等于30°，PF=FB，E∈BC，EF∥平面PAC．
（1）试求若的值；
（2）求二面角P-DE-A的余弦值；
（3）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．

Answer

（1）利用EF∥平面PAC，可得EF∥PC，根据PF=FB，可知BE=EC；
（2）以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面PDE的法向量、平面ADE的法向量，利用向量的夹角公式即可求得二面角P-DE-A的平面角；
（3）求出，平面PDE的法向量为，利用向量的夹角公式即可求得直线PC与平面PDE所成角的正弦值．
【解析】
（1）∵平面PBC∩平面PAC=PC，EF⊂平面PBC，EF∥平面PAC
∴EF∥PC
∵PF=FB，
∴BE=EC，即
（2）以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
∵PA⊥平面ABCD，PA=AB=1
∴直线PD与底面ABCD所成的角为∠PDA=30°，
∴AD=
则P（0，0，1），B（0，1，0），C（，1，0），E（）
∴，
设平面PDE的法向量为，∴，
∴，∴取z=1，可得
又平面ADE的法向量为
设二面角P-DE-A的平面角为θ，则=
（3）∵C（，1，0），∴
设直线PC与平面PDE所成角为α
∵平面PDE的法向量为
∴=
∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为