Question

设函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行．
（Ⅰ）求m的值与该切线方程；
（Ⅱ）若对任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，则求M的最小值；
（Ⅲ）若a≥0，b≥0，c≥0且a+b+c=1，试证明：．

Answer

（Ⅰ）利用导数的几何意义，及函数f（x）=-x3-2mx2-m2x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行，可求求m的值与该切线方程；
（Ⅱ）利用导数求解最值，要使对任意的x1，x2∈[0，1]，|f（x1）-f（x2）|≤M恒成立，则M≥最大值-最小值；
（Ⅲ）利用不等式间的等价转化求解，证明即可．
（Ⅰ）【解析】
∵f'（x）=-3x2-4mx-m2，所以f'（2）=-12-8m-m2=-5，
解得m=-1或m=-7
∵m＞-2，∴m=-1
∴f（x）=-x3+2x2-x+2
∴f（2）=-8+8-2+2=0
∴该切线方程为y=-5x+10；
（Ⅱ）【解析】
f'（x）=-3x2+4x-1=0，解得x1=1，x2=，列表如下

x   1
f'（x）   -   +  
f（x） 2 递减
递增 2

∴函数f（x）在区间[0，1]的最小值为f（ ）=，最大值为2．
要使对任意的x1，x2∈[0，1]，|f（x1）-f（x2）|≤M恒成立，则M≥
∴M的最小值为；
（Ⅲ）证明：∵f（x）=-x3+2x2-x+2=（1+x2）（2-x）
由（Ⅱ）知，当x∈[0，1]时，（1+x2） （2-x）≥，

∴（当时取等号）
当a≥0，b≥0，c≥0且a+b+c=1时，0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1

∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2≥，
∴（当且仅当a=b=c=时取等号）．