Question

已知F₁，F₂是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，，若椭圆的离心率等于．
（1）求直线AO的方程（O为坐标原点）；
（2）直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF₂的面积等于4，求椭圆的方程．

Answer

（1）根据椭圆的离心率e=，即，可得，因此设椭圆方程为x2+2y2=a2．再设点A（x，y），因为向量、的数量积为0，得到AF2、F1F2互相垂直，所以x=c，将A（c，y），代入椭圆方程，化简可得，得到A的坐标，从而得到直线AO的斜率为，最后根据直线AO过原点，得直线AO的方程为y=x；
（2）连接AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知：S△ABF1=S△ABF2=S△AF1F2，可用△AF1F2的面积列式，解之得a2=16，c2=a2=8，所以b2=a2-c2=8，最终得到椭圆方程为．
【解析】
（1）∵，∴AF2⊥F1F2，
又∵椭圆的离心率e==，
∴，可得，--------（3分）
设椭圆方程为x2+2y2=a2，设A（x，y），由AF2⊥F1F2，得x=c
∴A（c，y），代入椭圆方程，化简可得（舍负）--------（5分）
∴A（，），可得直线AO的斜率--------（6分）
因为直线AO过原点，故直线AO的方程为y=x--------（7分）
（2）连接AF1，BF1，AF2，BF2，
由椭圆的对称性可知：S△ABF1=S△ABF2=S△AF1F2，--------（9分）
∴S△AF1F2=×2c×yA=4，即ac=4--------（10分）
又∵
∴a2=4，解之得a2=16，c2=a2=8，
∴b2=a2-c2=8，故椭圆方程为--------（13分）