Question

如图甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D为．垂足，则AB²=BD•BC，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，类比射影定理，探究S_△ABC、S_△BCO、S_△BCD这三者之间满足的关系是    ．

Answer

首先猜想出结论：．，再进行证明：在△BCD内，延长DO交BC于E，连接AE，利用线面垂直的判定与性质可以证出AE⊥BC且DE⊥BC，从而AE、EO、ED分别是△ABC、△BCO、△BCD的边BC的高线，然后在Rt△ADE中，利用已知条件的结论得到AE2=EO•ED，再变形整理得到，说明猜想正确．
【解析】
结论：．
证明如下
在△BCD内，延长DO交BC于E，连接AE，
∵AD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥AD，
同理可得：BC⊥AO
∵AD、AO是平面AOD内的相交直线，
∴BC⊥平面AOD
∵AE、DE⊂平面AOD
∴AE⊥BC且DE⊥BC
∵△AED中，EA⊥AD，AO⊥DE
∴根据题中的已知结论，得AE2=EO•ED
两边都乘以（BC）2，得（BC•AE）2=（BC•EO）•（BC•ED）
∵AE、EO、ED分别是△ABC、△BCO、△BCD的边BC的高线
∴S△ABC=BC•AE，S△BC0=BC•EO，S△BCD=BC•ED
所以有，结论成立．