Question

植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
A．（1）和（20）
B．（9）和（10）
C．（9）和（11）
D．（10）和（11）

Answer

根据已知中某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，我们设树苗集中放置的树坑编号为x，并列出此时各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和，根据绝对值的性质，结合二次函数的性质即可得到使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小时，树苗放置的最佳坑位的编号．
【解析】
设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x
则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：
S=|1-x|×10+|2-x|×10+…+|20-x|×10
若S取最小值，则函数y=（1-x）2+（2-x）2+…+（20-x）2=20x2-420x+（12+22+…+202）也取最小值
由二次函数的性质，可得函数y20x2-420x+（12+22+…+202）的对称轴为y=10.5
又∵为正整数，故x=10或11
故选D