Question

已知点A（-1，0）、B（1，0），P（x，y）是直线y=x+2上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率e关于x的函数为e（x），那么下列结论正确的是（ ）
A．e与x一一对应
B．函数e（x）无最小值，有最大值
C．函数e（x）是增函数
D．函数e（x）有最小值，无最大值

Answer

由题意可得c=1，椭圆离心率e=，由椭圆的定义可得PA+PB=2a，a=，再由PA+PB 有最小值而没有最大值，从而得出结论．
【解析】
由题意可得c=1，椭圆离心率e==．故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大．
由椭圆的定义可得PA+PB=2a，a=．
由于PA+PB 有最小值而没有最大值，即a有最小值而没有最大值，
故椭圆离心率e 有最大值而没有最小值，故B正确，且 D不正确．
当直线y=x+2和椭圆相交时，这两个交点到A、B两点的距离之和相等，
都等于2a，故这两个交点对应的离心率e相同，故A不正确．
由于当x的取值趋于负无穷大时，PA+PB=2a趋于正无穷大；
而当当x的取值趋于正无穷大时，PA+PB=2a也趋于正无穷大，故函数e（x）不是增函数，故C不正确．
故选B．