Question

已知函数．
（I）求f（x）的极值；
（II）若∃x₁∈（0，+∞），∃x₂∈[1，2]使成立，求a的取值范围；
（III）已知．

Answer

（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的极值；
（II）分离参数可得，再分类讨论，求出右边的最小值，即可求得a的取值范围；
（III）只需要证明x1+x2＞x1x2，即可证得
（Ⅰ）【解析】
∵，
∴f′（x）=，
令f′（x）=0，即k-lnx=0，∴x=ek，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜ek；令f′（x）＜0，可得x＞ek；
∴函数在（0，ek）上单调增，在（ek，+∞）上单调减
∴函数f（x）在x=ek处取得极大值为f（ek）=e-k．
（II）【解析】
∵
∴
若，即x1∈（1，+∞）时，在[1，2]上为单调增函数，
∴∃x2∈[1，2]使成立，等价于∃x1∈（1，+∞），使得，∴a＞1；
若，即x1∈（0，1]时，，在时，取得最小值为
∴∃x2∈[1，2]使成立，等价于∃x1∈（0，1]，使得，∴a＞0；
综上知，a＞0
（III）证明：∵x1＞0，x2＞0，且x1+x2＜e，
∴（x1+x2）（）=2+≥2+2=4＞0，
两式相乘，化简得x1+x2＞x1x2，
∴