Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求证：都成立．

Answer

（1）因为数列{an}为等差数列，所以只要求出首项与公差，就可以求出通项公式，同样，因为数列{an}为等比数列，所以只要求出首项与公比，就可以求出通项公式，然后根据a1=3，前n项和为Sn，{bn}是等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．寻找含a1，d，b1，q的关系式，求出a1，d，b1，q即可．
（2）由（1）中所求数列{an}的首项与公差，代入等差数列的前n项和公式，求出Sn，再计算，最后用放缩法即可证明．
【解析】
（1）设{an}的公差为d（d＞0），{bn}的公比为q，
则
解得（舍）   
所以an=3+2（n-1）=2n+1，n∈N*，
bn=8n-1，n∈N*．
（2）因为Sn=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）
所以=
=
=．
故都成立．