Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D．

Answer

（1）由正三棱柱的几何特征可得AD⊥B1B，由等边三角形三线合一，可得AD⊥BD，结合线面垂直及面面垂直的判定定理，可依次证得AD⊥平面B1BCC1及平面AB1D⊥平面B1BCC1；
（2）连接A1B，交AB1于E，连DE，由三角形中位线定理可得DE∥A1C，进而根据线面平行的判定定理可得A1C∥平面AB1D．
证明：（1）因为B1B⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
所以AD⊥B1B    （2分）
因为D为正△ABC中BC的中点，
所以AD⊥BD    （2分）
又B1B∩BC=B，
所以AD⊥平面B1BCC1   （4分）
又AD⊂平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1    （6分）
（2）连接A1B，交AB1于E，连DE    （7分）
因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点   （8分）
又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，
所以DE∥A1C    （10分）
又DE⊂平面AB1D，
所以A1C∥平面AB1D    （12分）