Question

（1），a∈R，试讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x₂＞x₁＞0，求证：．

Answer

（1）求出，然后分a≤0和0＜a＜1和a=1以及a＞1时四种情况，分别讨论导数的零点，可以得到单调性的四种不同情况；
（2）构造函数，通过讨论h′（x）的单调性得出h′（x）在（0，+∞）上的最大值小于零，从而h′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此h（x）在（0，+∞）上单调递减．再根据0＜x1＜x2时，结合
h（x）单调减可得．
【解析】
（1）     （x＞0）
∴①当a≤0时，f（x）在区间（0，1）上是增函数，在区间（1，+∞）是减函数；
②当0＜a＜1时，f（x）在区间（0，a）是增函数，在区间（a，1）是减函数，在区间（1，+∞）是增函数
③当a=1时，f（x）在区间（0，+∞）是增函数
④当a＞1时，f（x）在区间（0，1）是增函数，（1，a）是减函数，（a，+∞）是增函数------------------（6分）
（2）令，由，
又令，∴
∴p（x）在[0，+∞）单调递减----------------------（8分）
∴当x＞0时，p（x）＜p（0）=0，
∴当x＞0时，h'（x）＜0
∴h（x）在（0，+∞）单调递减．------------（10分）
∴0＜x1＜x2时，有，
∴x2ln（1+x1）＞x1ln（1+x2），
∴-----（12分）