Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，其中正（主）视图与侧（左）视为直角三角形，俯视图为正方形．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PA上的动点．问：不论点E在PA的任何位置上，是否都有BD⊥CE？请证明你的结论？
（3）求二面角D-PA-B的余弦值．

Answer

（1）根据三视图的数据，结合三视图的特征直接求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PA上的动点．不论点E在PA的任何位置上，都有BD⊥CE，说明BD⊥平面PAC，都有CE⊂平面PAC，即可．
（3）在平面DAP过点D作DF⊥PA于F，连接BF．说明∠DFB为二面角D-AP-B的平面角，在△DFB中，求二面角D-PA-B的余弦值．
【解析】
（1）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2
∴S正方形ABCD•PC=．（4分）

（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE（5分）
证明：连接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC．（6分）
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC（7分）
∵不论点E在何位置，都有CE⊂平面PAC．
∵不论点E在何位置，都有BD⊥CE．（9分）

（3）在平面DAP过点D作DF⊥PA于F，
连接BF∵，AD=AB=1，
∴Rt△ADP≌Rt△ABP∴∠PAD=∠PAB，
又AF=AF，AB=AD
从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AP．∴∠DFB为二面角D-AP-B的平面角（12分）
在Rt△ACP中，
故在Rt△ADP中，．
又，在△DFB中，
由余弦定理得：．
所以二面角D-PA-B的余弦值为．（14分）