Question

已知g（x）=|x-1|-|x-2|，若关于x的不等式g（x）≥a²+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是    ．

Answer

根据绝对值函数的图象和性质，我们易得函数g（x）=|x-1|-|x-2|的值域为[-1，1]，若关于x的不等式g（x）≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则a2+a+1＞1恒成立，解不等式即可求出实数a的取值范围．
【解析】
∵g（x）=|x-1|-|x-2|，
∴g（x）∈[-1，1]
若关于x的不等式g（x）≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，
则a2+a+1＞1恒成立
即a2+a＞0恒成立
解得a＜-1，或a＞0
即实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（0，+∞）
故答案为：（-∞，-1）∪（0，+∞）