Question

已知P是双曲线的右支上一点，A₁，A₂分别为双曲线的左、右顶点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为；
②若|PF₁|=e|PF₂|，则e的最大值为；③△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a；④若直线PF₁的斜率为k，则e²-k²＞1，其中正确命题的序号是    ．

Answer

求出准线被它的两条渐近线所截得的线段的端点的纵坐标，即可得到此准线被它的两条渐近线所截得的线段
长度为，故①正确．
由双曲线的定义可得 2a+|PF2|=e|PF2|，根据|PF2|=≥c-a，求得1＜≤1+，故②不正确．
由双曲线的定义及圆的切线性质可得|KF1|=a+c，故△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a，故③正确．
由题意可得k＜，故e2-k2＞1，故④正确．
【解析】
对于①，一准线方程为x=，它的两条渐近线方程为 y=±x，
故准线被它的两条渐近线所截得的线段的端点的纵坐标分别为 =±，
故此线段的长度为，故①正确．
对于②，若|PF1|=e|PF2|，则由双曲线的定义可得 2a+|PF2|=e|PF2|，e＞1．
∴|PF2|==≥c-a，∴e2-2e-1≤0，
∴1-≤≤1+，故有 1＜e≤1+，即离心率的最大值为1+，故②不正确．
对于③，设△PF1F2的内切圆与PF1和PF2的切点分别为M，N，与x轴的切点为K，
由双曲线的定义及圆的切线性质可得|MF1|-|NF2|=2a=|KF1|-|KF2|，
又|KF1|+|KF2|=2c，∴|KF1|=a+c，故K为双曲线的右顶点，又△PF1F2的内切圆的圆心
在切点K 的正上方，故△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a，故③正确．
对于④若直线PF1的斜率为k，则由题意可得k＜，∴k2＜，∴e2-k2＞1，故④正确．
故答案为：①③④．