Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点．
（1）作出过B₁、G、F三点的长方体的截面（保留作图痕迹）；
（2）求异面直线A₁E与GF所成角的大小；
（3）求斜线GF与底面ABCD所成角的大小．

Answer

（1）连接B1G并且延长B1G交BC的延长线于点Q，再连接FQ交CD于点P，则可得截面为B1FPG．
（2）连接B1G，EG，由长方体的结构特征与题中的条件可得：A1E∥B1G，得到∠B1GF为异面直线所成角，再利用解三角形的有关知识求出答案．
（3）连接FC，由题意可得：GC⊥平面ABCD，所以∠GFC为斜线GF与底面ABCD所成角，再利用解三角形的有关知识求出线面角．
【解析】
（1）如图所示：截面为B1FPG．

（2）连接B1G，EG，
∵E、G分别是DD1和CC1的中点，
∴EG∥C1D1，而C1D∥A1B1，
∴EG∥A1B1，
∴四边形EGB1A1是平行四边形．
∴A1E∥B1G，
所以∠B1GF为异面直线所成角，
连接B1F，则FG=，B1G=，B1F=，
所以FG2+B1G2=B1F2，
所以∠B1GF=90°，
所以异面直线A1E与GF所成的角为90°．
（3）连接FC，
由长方体ABCD-A1B1C1D1的结构特征可得：GC⊥平面ABCD，
所以∠GFC为斜线GF与底面ABCD所成角，
因为AA1=AB=2，AD=1，点F、G分别是AB、CC1的中点，
所以CG=1，CF=，
所以在△GFC中，tan∠GFC=，
所以斜线GF与底面ABCD所成角为arctan．