Question

过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k₁和k₂，求证：k₁•k₂为定值，并求出定值；
（2）求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标； 
（3）当最小时，求的值．

Answer

（1）设过A（a，0）与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k，则该切线的方程为：y=k（x-a）．由 得x2-kx+（ka+1）=0，由此可知k1k2=-4．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意知y1=2x1a+2，y2=2x2a+2，由此可知直线PQ的方程是y=2ax+2，直线PQ过定点（0，2）．
（3）要使 最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离 ．由引入手能够推导出 •的值．
【解析】
（1）设过A（a，0）与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k，
则该切线的方程为：y=k（x-a）
由 得x2-kx+（ka+1）=0∴△=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0
则k1，k2都是方程k2-4ak-4=0的解，故k1k2=-4
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y1=2x1（x-x1）
则-y1=2x1（a-x1）=2x1a-2x12=2x1a-2（y1-1）∴y1=2x1a+2，同理y2=2x2a+2
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）
（3）要使 最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离
当且仅当 即 时取等号设P（x1，y1），Q（x2，y2）
由 得x2-2ax-1=0，则x1+x2=2a，x1x2=-1，
=（x1-a）（x2-a）+y1y2=（x1-a）（x2-a）+（2ax1+2）（2ax2+2）
=（1+4a2）x1x2+3a（x1+x2）+a2+4=-（1+4a2）+3a•2a+a2+4=3a2+3=