Question

已知A（1，0），B（-2，0），动点M满足∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0）．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若直线l：，且轨迹E上存在不同两点C、D关于直线l对称．
①求实数b的取值范围；
②是否可能有A、B、C、D四点共圆？若可能，求实数b的值；若不可能，请说明理由．

Answer

（1）如何体现动点M满足的条件∠MBA=2∠MAB是解决本题的关键．用动点M的坐标体现∠MBA=2∠MAB的最佳载体是直线MA、MB的斜率．
（2）先设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点（x，y）（x1，x2，x＜-1）．由点差法有y=-x．又；所以，．又直线CD的方程为．将直线的方程代入（1）的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用到角公式即可求得b值，从而解决问题．
【解析】
（1）设动点M的坐标为（x，y），则，．
由∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0），得，
化简得3x2-y2=3（当时也满足）．
显然，动点M在线段AB的中垂线的左侧，且∠MAB≠0，
故轨迹E的方程为 3x2-y2=3（x＜-1）．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点（x，y）（x1，x2，x＜-1）．
由点差法有 ，即y=-x．
又；所以，．
①由3及得，．
②直线CD的方程为，即．
上式代入3x2-y2=3得，8x2+12bx+3b2+4=0，
所以△=16（3b2-8），，，．
若A、B、C、D四点共圆，则∠CAD=60°，由到角公式可得 
即 ，即 ；解得．
故可能有A、B、C、D四点共圆，此时．